Метод интегрирования по частям применяется, когда подынтегральная функция представляет собой произведение функций разной природы — например, многочлена и логарифма, или степенной функции и тригонометрической.
Что такое интегрирование по частям
Интегрирование по частям — это приём вычисления интегралов, основанный на формуле производной произведения. Если две функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы, то производная их произведения равна $(uv)' = u'v + uv'$. Проинтегрировав обе части и переставив слагаемые, получаем рабочую формулу метода.
Суть приёма — заменить «трудный» интеграл на «более простой» за счёт того, что одну часть произведения мы дифференцируем (она упрощается), а другую — интегрируем.
Формула и основные правила
Базовая формула выглядит так:
∫ u dv = u·v − ∫ v du
Для определённого интеграла:
∫[a,b] u dv = [u·v]│[a,b] − ∫[a,b] v du
Главный вопрос — что обозначить за $u$, а что за $dv$. Существует мнемоническое правило ЛИАТЭ (порядок выбора $u$ по убыванию приоритета):
| Буква | Класс функций | Пример |
|---|---|---|
| Л | Логарифмические | $\ln x$, $\log_a x$ |
| И | Обратные тригонометрические | $\arctan x$, $\arcsin x$ |
| А | Алгебраические (многочлены) | $x^2$, $3x+1$ |
| Т | Тригонометрические | $\sin x$, $\cos x$ |
| Э | Экспоненциальные | $e^x$, $a^x$ |
За $u$ берётся функция, стоящая выше в этом списке. Остаток (вместе с $dx$) — это $dv$.
Полезные ориентиры:
- Если в интеграле есть $\ln x$ или $\arctan x$ — почти всегда они идут в $u$.
- Если есть многочлен и $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ — многочлен берём за $u$.
- Иногда метод нужно применять дважды (например, для $\int x^2 e^x , dx$).
Пример 1: интеграл с логарифмом
Вычислим $\int x \ln x , dx$.
По правилу ЛИАТЭ логарифм важнее алгебраической функции, поэтому:
| Обозначение | Выбор | Производная / первообразная |
|---|---|---|
| $u$ | $\ln x$ | $du = \dfrac{1}{x} dx$ |
| $dv$ | $x , dx$ | $v = \dfrac{x^2}{2}$ |
Подставляем в формулу:
∫ x ln x dx = ln x · x²/2 − ∫ (x²/2) · (1/x) dx
= (x² ln x)/2 − ∫ x/2 dx
= (x² ln x)/2 − x²/4 + C
Ответ: $\dfrac{x^2 \ln x}{2} - \dfrac{x^2}{4} + C$.
Пример 2: многочлен и экспонента
Вычислим $\int x , e^{2x} , dx$.
Многочлен стоит в ЛИАТЭ выше экспоненты, значит $u = x$.
| Обозначение | Выбор | Производная / первообразная |
|---|---|---|
| $u$ | $x$ | $du = dx$ |
| $dv$ | $e^{2x} dx$ | $v = \dfrac{1}{2} e^{2x}$ |
Применяем формулу:
∫ x e^(2x) dx = x · (1/2) e^(2x) − ∫ (1/2) e^(2x) dx
= (x/2) e^(2x) − (1/4) e^(2x) + C
Ответ: $\dfrac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$.
Пример 3: двукратное применение
Вычислим $\int x^2 \cos x , dx$.
Шаг 1. Берём $u = x^2$, $dv = \cos x , dx$, тогда $du = 2x , dx$, $v = \sin x$.
∫ x² cos x dx = x² sin x − ∫ 2x sin x dx
Шаг 2. Оставшийся интеграл $\int 2x \sin x , dx$ снова берём по частям: $u = 2x$, $dv = \sin x , dx$, тогда $du = 2 , dx$, $v = -\cos x$.
∫ 2x sin x dx = −2x cos x − ∫ (−2 cos x) dx
= −2x cos x + 2 sin x + C₁
Объединяем:
∫ x² cos x dx = x² sin x − (−2x cos x + 2 sin x) + C
= x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C
Типичные ошибки
Неправильный выбор $u$ и $dv$. Если поменять роли местами в примере с логарифмом, новый интеграл окажется сложнее исходного. Проверка: после первой подстановки интеграл должен упроститься, а не усложниться.
Потеря знака минус перед вторым интегралом. В формуле стоит «минус ∫ v du» — забытый знак автоматически портит весь ответ. Особенно часто это происходит при двукратном применении метода.
Ошибка при нахождении $v$. $v$ — это первообразная от $dv$, а не сама функция $dv$. Например, если $dv = e^{2x} dx$, то $v = \frac{1}{2} e^{2x}$, а не $e^{2x}$.
Забытая константа $C$. В неопределённом интеграле в финальном ответе всегда должна быть $+C$. Промежуточные константы $C_1$, $C_2$ обычно объединяют в одну.
Когда стоит обратиться за помощью
Метод интегрирования по частям требует тренировки: важно «увидеть» правильное разбиение и не запутаться в знаках при многократном применении. Если вы готовитесь к контрольной или зачёту и хотите разобрать десяток-другой типовых задач с подробным разбором каждого шага — наш сервис Solvr умеет генерировать учебные образцы с пошаговыми решениями под ваш уровень. Это удобно, когда нужно быстро понять логику метода на похожих задачах, прежде чем браться за свои собственные.